ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА

Вывод основного уравнения сбалансированного рынка

Пусть рынок находится в состоянии равновесия, другими словами нерыночный риск диверсифицирован выбором соответственного ранца ценных бумаг и требуется найти воздействие на доходность ранца рыночного (системного) риска.

Разглядим рыночный портфель с оценкой и действенной границей рисковых ранцев. Составим рисковый портфель p, представляющий из себя комбинацию некого рискового ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА актива (с оценкой ) и рыночного ранца :

. (1)

Построим кривую риска , отвечающую различным композициям активов с ранцем :

0

Рис.2.

Эта кривая риска находится «над» действенной границей , потому что при получаем портфель pa,, представляющий из себя неэффективную комбинацию рискового актива и ранца . А при обе кривые дают оценку (точку) рыночного ранца , другими словами касаются ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА в этой точке с лучом , где – доходность безрискового актива.

Параметрическое уравнение (a - параметр) полосы риска имеет вид:

(2)

где - доходность и риск актива , - коэффициент корреляции актива с ранцем .

Вычислим угла наклона касательной как углового коэффициента прямой :

(3)

и как значение производной (2) при (другими словами в точке ): Для этого выразим из ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА первого уравнения системы (2)

, (4)

подставим во 2-ое уравнение и вычислим производную как производную сложной функции :

.

Полагая , получаем выражение

,

которое подставим в равенство (3):

(5)

из которого можно вывести основное уравнение сбалансированного рынка:

. (6)

Либо

, (7)

где

, (7')

(8)

именуется бета вклада (актива ) относительно рационального (рыночного) ранца .

Разность именуется премией за риск - это превышение ожидаемой эффективности рисковой ценной бумаги (либо ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА рискового ранца) над эффективностью безрискового актива.

Линия рынка актива (SML)

Уравнение сбалансированного рынка позволяет оценивать неэффективные активы (либо ранцы) относительно действенных ранцев. Оно гласит о том, что в состоянии равновесия ожидаемая доходность актива равна ставке (7') без риска плюс вознаграждение за рыночный риск, измеряемый величиной . Либо премия за риск (см. (7)), связанная с ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА ценной бумагой , пропорциональна премии за рыночный риск рыночного ранца с коэффициентом пропорциональности .

Геометрически уравнение сбалансированного рынка представляет собой линию рынка актива (ценных бумаг) SML - Security Market Line.

SML

0 1

Рис.3.

Располагая таковой прямой, можно по известному отыскать ожидаемую эффективность ценной бумаги Точка имеет координаты , потому что тут и ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА .

Наклон SML определяет отношение инвесторов к риску. Если у инвесторов оптимистичные прогнозы на будущее, то наклон SML будет наименее крутой (SML1), потому что инвесторы согласны на более высочайшие опасности ,считая их маловероятными, при равных значениях ожидаемой доходности . А при неблагоприятных прогнозах, наклон SML будет более крутой (SML2), потому что инвесторы ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА потребуют огромную ожидаемую доходность , считая очень возможным более высочайшие опасности .


SML2

SML1

0

Рис.4.

Характеристики бета актива

Из курса теории вероятностей следует,что бета актива

,

есть не что другое, как коэффициент регрессии линейной корреляционной зависимости вида:

, (9)

где - условное математическое ожидание случайной величины , - математические ожидания случайных величин и соответственно.

Переходя в уравнении ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА (9) к ранцу и активу можем записать уравнение среднеквадратической регрессии доходности актива относительно доходности рыночного ранца :

, (10)

где - условное математическое ожидание случайной (реализованной) доходности актива , - средняя доходность актива за временных периодов, - случайная (реализованная) доходность рыночного ранца, - средняя доходность рыночного ранца:

, .

Последнее уравнение дает наилучшую, исходя из убеждений способа меньших квадратов, линейную оценку ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА эффективности актива зависимо от реализованного случайного значения - доходности рыночного ранца. Тогда можно формулировать последующие характеристики бета актива, исходя из параметров коэффициента среднеквадратической регрессии:

1. Если , то актив - безрисковый, потому что .

2. Если , то актив (портфель) – рыночный.

3. Если , то доходности актива и рынка изменяются в одном направлении, а при – в обратных направлениях. Для ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА большинства активов .

4. Активы с более рискованны, а с наименее рискованны, чем рыночный портфель.

Таким макаром, бета актива (ранца) указывает, как будет реагировать доходность актива на действие рыночных сил. Если, к примеру, , то изменение ожидаемой доходности рыночного ранца на 1% вызовет изменение (соответственное) доходности актива на 2%.

Как следует, величина ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА употребляется для свойства (измерения) рыночного риска актива (ранца), потому что указывает зависимость меж доходностью актива и доходностью рыночного ранца, который является «вознаграждением» за рыночный риск.

Зная величины бета каждого из активов , входящих в портфель, можно отыскать и бету всего ранца по формуле:

(11)

где - удельный вес - го актива в ранце ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА .

Активы с отрицательным значением являются ценным инвентарем для диверсификации ранца, потому что позволяют выстроить портфель с нулевой бетой . Но таковой портфель не является безрисковым, потому что он сохранит нерыночный риск и не содержит только системного риска.

Альфа актива

Модель CAPM определяет эффективности тех ценных бумаг, которые покупаются и продаются на безупречном ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА (сбалансированном) рынке и их оценки лежат на прямой SML. На практике же можно найти активы, которые оценены рынком ошибочно, вследствие неидеальности рынка ценных бумаг либо фактора времени.

Если некий актив переоценен рынком (высочайшая цена), то его доходность ниже доходности активов с аналогичной чертой риска. Если же некий актив недооценен рынком (низкая ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА цена), то его доходность соответственно выше.

В качестве показателя величины переоценки (недооценки) актива принимают разность меж реальной доходностью и сбалансированной доходностью :

, (12)

где – альфа -го актива, а – сбалансированная доходность, определяемая формулой (7). Тогда

, (13)


SML

0 1

Рис.5.

На рисунке изображены два актива и , ошибочно оцененные рынком. Актив имеет и недооценен рынком, его эффективность ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА большая, как следует, стоимость актива будет повышаться до того времени, пока он не попадет в положение . Актив переоценен рынком, и его стоимость будет понижаться до положения равновесия .

Как следует, одна из практических советы денежного анализа сводится к покупке активов вида и продаже активов вида . Альфа ранца определяется как сумма

, (14)

где – толика ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА - го актива в ранце .

ЛИНИЯ РЫНКА КАПИТАЛА

В CAPM зависимость меж «полным» риском и ожидаемой доходностью задается в виде прямой, касательной к действенной границе в точке рыночного ранца М.

CML

0

Рис.6.

Эту прямую именуют линией рынка капитала CML – Capital Market Line. Уравнение этой полосы можно просто получить как уравнение ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА прямой, проходящей через две данные точки и :

,

а конкретно

, (15)

где и - ожидаемые доходность и риск актива .

CML охарактеризовывает соотношение риска и доходности только для обширно диверсифицированных ранцев, включающих в себя и рыночный портфель, потому CML не отвечает на вопрос: какой ожидаемой доходностью должны владеть наименее диверсифицированные ранцы и отдельные активы.

Если уравнение ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА (15) записать в виде

,

то величину именуют время от времени рыночной ценой риска либо премией за единицу риска .

Сравним свойства CML и SML. В состоянии рыночного равновесия на CML лежат только действенные ранцы, другие ранцы и отдельные активы лежат ниже. СML учитывает весь риск ранца и мерой риска выступает среднее квадратическое ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА отклонение .

На SML же в состоянии рыночного равновесия размещены все ранцы, SML учитывает только рыночный риск ранца и мерой риска выступает величина бета (однообразная рыночная составляющая риска).

Наглядно это можно узреть на рисунках:

СML SML

0 0 1

Рис.7.

Потому что при , , то лежит ниже CML и не является действенным ранцем ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА. Но лежит на SML, так как , хотя общий риск ранца и больше общего риска ранца , потому что рынок оценивает ранцы не исходя из убеждений их общего риска, а на базе рыночного риска .

CML ничего не гласит о связи ожидаемой доходности отдельного актива (AÏCML) и его полного риска, измеряемого стандартным ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА отклонением. SML устанавливает зависимость меж ожидаемой доходностью ранца и его рыночным (периодическим) риском.

CML и SML можно сопоставить и с их помощью уравнений. Для этого в уравнение (15) добавим коэффициент корреляции , а конкретно:

. (15¢)

Тогда уравнение (15¢) представляет собой фактически уравнение SML, только тут , потому что в CML собраны только ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА действенные ранцы, которые на сто процентов коррелируются с рыночным ранцем .

МОДИФИКАЦИИ CAPM

В реальной жизни ставки по займам и кредитам отличаются. Тогда, как мы лицезрели в предшествующей главе, действенная граница не является линейной, а имеет вид , и хоть какой портфель на рассматривается как рыночный.

0

Рис.8.

В данном случае рассматриваются ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА две формулы SML, которые рассчитываются относительно 2-ух рыночных ранцев и с оценками и .

Если инвестор сформировывает кредитный портфель , то SML имеет вид:

,

и для заемного ранца :

.

2-ая модификация CAPM появляется тогда, когда на рынке имеется актив с нулевой бетой , другими словами актив не содержит рыночного риска, а только нерыночный риск ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА. Это, к примеру, облигация большой компании, которая при погашении ее в срок, гарантирует инвестору определенный уровень процента (дохода ), не зависящего от следующих колебаний цены этой облигации. В данном случае SML будет иметь вид:

,

другими словами это ровная проходит через рыночный портфель и портфель с нулевой бетой (с доходностью ):

SML

0 1

Рис ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСНОГО РЫНКА.9.


osnovnoe-svojstvo-drobi-sokratimie-i-nesokratimie-drobi.html
osnovnoe-tehnologicheskoe-oborudovanie.html
osnovnoe-uprazhnenie-pri-hodbe.html