Основное уравнение электростатики

Пространственная задачка теплопроводимости.

Распространение тепла в шаре

Решение задачки теплопроводимости в пространстве 2-ух и 3-х измерений связано с большенными трудностями математического нрава. Способности использования математического аппарата в реальном курсе очень ограничены. Потому разглядим краевую задачку для трехмерного места, решение которой можно привести к одномерному случаю.

Пусть имеем однородный шар радиуса , центр которого Основное уравнение электростатики находится сначала координат. Представим, что как в исходный, так и в следующие моменты времени температура одна и та же во всех точках, находящихся на схожей расстоянии от центра шара. Во всегда наблюдения наружняя поверхность шара поддерживается при нулевой температуре. Определим температуру хоть какой точки снутри сферы в момент времени Основное уравнение электростатики .

Преобразуем уравнение теплопроводимости в пространстве 3-х координат

(1.250)

к уравнению с одной пространственной координатой, т.к. температура в точке для по условию находится в зависимости от ее расстояния до начала координат.

Означает,

, где . (1.251)

Из (1.250) найдем

,

.

Аналогично определяются , . После подстановки в (1.250) отысканных выражений для личных производных , , уравнение воспримет вид

. (1.252)

Тогда изначальное условие запишется Основное уравнение электростатики в виде

, (1.253)

где - данная функция в интервале , а граничное условие

. (1.254)

Если ввести новейшую неведомую функцию

, (1.255)

то задачка просто сводится к решенной ранее одномерной краевой задачке с однородными граничными критериями. По правде, из (1.255) найдем

, , .

Выразим отсюда , , и подставим их значения в (1.252). Уравнение (1.252) преобразуется к виду

,

а условия для новейшей функции таковы:

,

, .

В итоге мы пришли к задачке Основное уравнение электростатики о теплопроводимости в конечном стержне длины , на концах которого поддерживается температура, равная нулю, а изначальное рассредотачивание температуры задается функцией . Эта задачка решена в п. 1.33.1А. Согласно формулам (1.202) и (3.203) имеем

,

где

.

Разыскиваемая же температура .

Уравнения эллиптического.

Задачки, приводящие к уравнениям Пуассона и Лапласа

Исследование стационарных процессов различной физической природы приводит к уравнениям эллиптического Основное уравнение электростатики типа. Простейшими и более всераспространенными уравнениями этого типа являются уравнения Пуассона и Лапласа.

К уравнениям Пуассона и Лапласа, кроме задачки о рассредотачивании температуры в стационарном термическом поле, что было установлено в п. 1.31, приводятся многие задачки из электростатики, магнитостатики, гидродинамики и других разделов естествознания. Остановимся на неких из их.

Основное Основное уравнение электростатики уравнение электростатики

Пусть в некой однородной среде имеется стационарное, т.е. не зависящее от времени, электронное поле, образованное электронными зарядами. - напряженность электронного поля; - плотность зарядов; диэлектрическую постоянную среды примем равной единице.

Главным законом электростатического поля является аксиома Гаусса: поток напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен (в абсолютной системе единиц) алгебраической Основное уравнение электростатики сумме зарядов, находящихся снутри этой поверхности, умноженной на :

.

В общем случае электронные заряды распределены по объему с некой плотностью . Заряд , помещенный в элементе объема , можно рассматривать как точечный заряд, а данное электронное поле напряженности - как поле, образованное наложением точечных зарядов. Потому сумма должна быть заменена на Основное уравнение электростатики . Итак, в силу основного закона

. (1.256)

Применив к поверхностному интегралу формулу Остроградского-Гаусса

,

из (1.256) получаем

либо

.

Отсюда, ввиду произвольности объема , следует, что равно нулю подынтегральное выражение. Таким макаром, перебежали к дифференциальной форме аксиомы Гаусса

. (1.257)

Из электродинамики понятно, что электростатическое поле является безвихревым, либо возможным, т.е. существует такая скалярная функция , для которой

,

где - электронный потенциал.

В векторном анализе Основное уравнение электростатики было установлено, что

.

С учетом этого уравнение (1.257) воспримет вид

. (1.258)

В системе единиц СИ уравнение (1.258) записывается проще:

.

Отсюда заключаем, что потенциал электронного поля удовлетворяет уравнению Пуассона. Если больших зарядов нет , то потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:

.


osnovnoe-soderzhanie-raboti-sistema-regulyacii-sostoyaniya-psihicheskogo-vigoraniya-na-primere-predstavitelej-professij.html
osnovnoe-soderzhanie-raboti-vospitanie-cennostnih-otnoshenij-shkolnikov-v-obrazovatelnom-processe-13-00-01-obshaya.html
osnovnoe-specificheskoe-sredstvo-fizicheskogo-vospitaniya.html